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画法几何及土木工程制图06-曲线和曲面_图文

画法几何及土木工程制图
第六章 曲线和曲面
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目录
§6-1 曲线 §6-2 曲面概述 §6-3 直纹面 §6-4 曲线面

第六章 曲线和曲面

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§6-1 曲线

一、曲线的形成和分类

曲线可以看作是由以下三种方式形成的:

1.不断改变方向的点连续运动的轨迹。

2.曲面立体表面的交线。

3.直线族或曲线族的包络。

点的运动轨迹

曲表面的交线

包络曲线

第六章 曲线和曲面

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§6-1 曲线
曲线的分类:
可分为规则曲线与不规则曲线,例如圆是规则曲线,地面 等高线是不规则曲线;
又可分为平面曲线和空间曲线,曲线上所有的点都位于一 个平面上,这样的曲线叫平面曲线;连续四个点不在同一平面 上的曲线叫空间曲线。圆 柱螺旋线就是空间曲线的 例子。

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§6-1 曲线
二、曲线的投影
画出曲线上一系列点的投影,可得到曲线的投影。为了准确 地表示曲线,一般应画出曲线上特殊点的投影,以便控制好曲线 的形状。
曲线的投影性质:
1.曲线的投影一般仍为曲线,特殊情形下平面曲线的投影可能 退化成直线;

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§6-1 曲线
2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投 影相切,而且切点的投影仍为切点;
3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线,例如圆的投影一般为椭 圆。

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§6-1 曲线

平面曲线的投影,其形状 视平面与投影面的倾斜状态而 定,当平面平行于投影面时, 曲线的投影反映曲线的实形; 当平面垂直于投影面时,曲线 的投影退化为直线;当平面倾 斜于投影面时,曲线的投影为 变了形的曲线。

反映实形

退化成直线

变了形的曲线

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§6-1 曲线
三、圆的投影 1. 投影面垂直面上的圆 圆在所垂直的那个投影面上 的投影为直线段,线段的长度等 于圆的直径,圆的另外两投影为 椭圆,椭圆的长轴长度等于圆的 直径。

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§6-1 曲线
例6-1 已知直径为d 的圆位于铅垂面内,并知圆心O 和PH的位置,试作出其投影。
解:水平投影为线段,长度等
于d,重合在PH上;正面投影和 侧面投影为椭圆,长轴竖直,长
度等于d,短轴水平,长度根据水 平投影作出。利用圆的辅助投影
可作出椭圆上的一些中间点。

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§6-1 曲线
2.一般斜平面上的圆 圆所在的平面倾斜 于三个投影面时,圆的 任一投影都是椭圆,椭 圆长轴的长度总是等于 圆的直径d。

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§6-1 曲线
例6-2 半径为r的圆位于一般倾斜平面□ABCD上,
并知圆心的位置,试作出其投影。

解:首先,在水平投影中 作椭圆的长短轴:长轴的方向 为面内水平线的水平投影的方 向,长度等于圆的直径2r。短 轴垂直于长轴,长度利用直角 三角形法求出。
(点击鼠标看过程)

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§6-1 曲线
其次,求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影,它们是
一对共轭直径1’2’、3’4’。根据共轭直径可求出椭圆上的其余四个 点5’、6’、7’、8’,用八点法画
出正面投影椭圆。

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§6-1 曲线
最后,利用平面上定点
的方法求出水平投影中的5、 6、7、8四点,从而画出水平
投影椭圆。

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§6-1 曲线
四、螺旋线的投影
1.圆柱螺旋线的形成
点P沿圆柱面上的一条直母线作等速移动,该母线又绕柱轴作 等速转动,点P的轨迹为圆柱螺旋线。

动画

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§6-1 曲线
七、螺旋线的投影
螺旋线轴线为铅垂线时,螺 旋线的水平投影为圆。把圆周 等分(例如12等分),分点按
旋向依次编号为0、1、2……;
在正面投影中把导程也作相同 的等分,过各分点作水平线; 由水平投影中的各分点作竖直 线与正面投影上的对应水平线
相交,得0’、1’、2’……,把这
些点连成光滑曲线,即为螺旋 线的正面投影。

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§6-2 曲面概述
一、曲面的形成和分类
曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的 线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线, 曲面上任意位置的母线称为素线。控制母线运动的线或面,称为导 线或导面。

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§6-2 曲面概述
由直母线运动生成的曲面称为直纹面,例如圆柱面、圆锥面; 只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面,例如球面。

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§6-2 曲面概述
根据母线运动时有无旋转轴,曲面可以分为旋转面和非旋 转面。在旋转面中,由直母线旋转生成的叫旋转直纹面,由曲 母线旋转生成的叫旋转曲线面。

动画

动画

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§6-2 曲面概述
二、曲面的投影
平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线,形成投射平面 或柱面,它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线, 简称外形线。曲面在某个投影面上的投影,可以用该投射方向上外 形线的投影来表示。此外,有时还需同时画出曲面上若干条素线。

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§6-2 曲面概述
外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界 线。

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§6-2 曲面概述

三、曲面上点的投影

曲面上点的投影在曲面的同面投影上。

这里讨论的问题是,已知曲面的投影,根据曲面上点的一个投

影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似,这里也要借助于辅

助线。曲面上选用的辅助线,其投影应为直线或圆。对于直纹面,

可选用其直的素线为辅助线,用这种方法求点的投影称为素线法。

对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线,用这种方法求点的投影称为

纬圆法。

素线法动画

纬圆法动画

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§6-2 曲面概述
在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子:

动画

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§6-3 直纹面

直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、旋

转单叶双曲面等属于旋转直纹面,切线面、双曲抛物面、锥状面、 柱状面等属于非旋转直纹面。

一、柱面
直母线l 沿着一条 导曲线运动,且始终平 行于某一固定方向T, 这样形成的曲面称为柱 面。柱面的所有素线均 互相平行,画柱面的投 影时需画出外形线的投 影(轮廓素线)。

动画

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§6-3 直纹面
在柱面上求点的投影,一般可用素线法。

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§6-3 直纹面
柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取 名的,正截面是圆时,称为圆柱面;正截面是椭圆时,称为椭 圆柱面,等等。
如果柱面有两个以上的对称平面,则对称平面的交线称为 柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。

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§6-3 直纹面
二、锥面
直母线沿着一条曲导线C 运动,且始终通过定点S,这样形成 的曲面称为锥面。S 称为锥顶,所有的素线都通过它。在投影图上, 应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。

动画

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§6-3 直纹面
在锥面上作点,一般利用素线法。当用投影面平行面能截 出圆形交线时,也可以用纬圆法作点。
下面是几种有轴的锥面。

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§6-3 直纹面
三、切线面 直母线l 沿着一条曲导线C 运动,且 始终与C 相切,这样形成的曲面称为切线 面。曲导线C 是空间曲线,称为切线面的 脊线。

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§6-3
工程中弯曲坡道两侧的边 坡往往设计成切线面,并且使 切线面的所有切线与地面成同 一角度,这样设计成的切线面 称为同坡曲面。

直纹面

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§6-3 直纹面
四、双曲抛物面
直母线l 沿着两条交叉直导线AB、CD运动,且始终平行于某
一导平面Q,这样形成的曲面称为双曲抛物面,工程上也称扭面。 双曲抛物面的投影图中,只需画出两条直导线和若干素线的投
影,而不必画出导平面。

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§6-3 直纹面
双曲抛物面在工程上有广泛的用途。 道路边坡过渡段
水渠边坡渐变段

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§6-3 直纹面
对于同一个双曲抛物面,也可以把它看作是以AD、BC为交叉 直导线,以平行于端点连线AB、CD 的平面P 为导平面所形成的。
也就是说,双曲抛物面上有两族素线,其中每一条素线与同族的 所有素线都不相交,而与另一族的所有素线都相交。

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§6-3 直纹面
五、锥状面
直母线l 沿着一条直导线EF 和一条曲导线ABC 运动,且始终 平行于导平面P(P 平行于两条导线端点的连线AE 和CF ),这样 形成的曲面称为锥状面。

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§6-3 直纹面
六、柱状面
直母线l 沿着两条曲导线运动, 且始终平行于某一导平面,这样形成 的曲面称为柱状面。
柱状面桥墩

柱状面管道

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§6-3 直纹面
柱状面的所有素线都平行于导平面,而彼此间则成交叉状态。 投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影,而不画出导平 面。
以正平面为导平面的柱 状面管道

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§6-3 直纹面
七、旋转单叶双曲面
直母线绕一条与它交叉的直线OO旋转,这样形成的曲面称为 旋转单叶双曲面,直线OO称为旋转轴。

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§6-3 直纹面
投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨 迹的投影,以及素线的包络线。

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§6-3 直纹面
旋转中母线上的每个点都在作圆周运动,其轨迹是纬圆。 母线上距轴线最近的点,其轨迹是最小的纬圆,叫喉圆。
过旋转单叶双曲面上的每个点,还可以画出另外一条素线, 也就是说,同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线,同族的 素线间均不相交,而每一条素线都与另一族的所有素线相交。

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§6-3 直纹面

工程用例:水塔支架

冷却塔

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§6-3 直纹面
八、螺旋面
分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线,直母线l 沿此两导线移动 而又同时与轴线保持一定的角度,这样形成的曲面称为螺旋面。若 母线与轴正交,得到 的叫正螺旋面,否则 得到的叫斜螺旋面。

第六章 曲线和曲面

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§6-3
1. 正螺旋面
直观图

直纹面
投影图

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应用实例: 螺旋楼梯的 作图

§6-3 直纹面

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§6-3 直纹面
塔柱上的螺旋楼梯

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§6-3 直纹面
2. 斜螺旋面
在作出螺旋线的正面投影的基础上,首先 作一条平行于V 面的素线,使其与轴的夹角等
于定角θ,如图中的0’01’。自01’起向上量取导
程并按水平投影的等分数将其等分,过各分点
与螺旋线正面投影上相应点0’、1’、……12’连
接,即得螺旋面的素线的正面投影,最后画出 素线的包络线,完成螺旋面的正面投影。

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§6-4 曲线面
一、球面
圆绕其任一直径旋转生成球面。所以球面被任一平面截割, 其交线均为圆。球的任一正投影也总是圆。圆的直径等于球的直 径。

第六章 曲线和曲面

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§6-4 曲线面
在球面上作点,一般用纬圆法。例如已知球上点A的正面投影 a’,过a’作水平纬圆的正面投影,得纬圆半径ra,在水平投影中以 r投a为影半,径a在画此圆圆,上得。纬圆的水平
动画演示了另外一个例子。
动画

第六章 曲线和曲面

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§6-4 曲线面
例6-3 根据部分球面的正面投影和水平投影,求作侧面投 影,并根据球面上A点的正面投影a’ 和B点的水平投影b,作出
其 余的投影。
解:本题表示的是1/4球面,其侧面投影为一扇形。用纬圆 法可求出A和B的其余各投影。

第六章 曲线和曲面

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§6-4 曲线面
二、环面
圆绕与其共面但不通过圆心的轴线旋转,生成环面。外半圆周 生成外环面,内半圆周生成内环面。

第六章 曲线和曲面

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§6-4 曲线面
图示环面的正面投影上,画出了轴线和外形线,包括母线上最 高、最低点的轨迹及两个反映实形的母线圆的投影,其中内半圆的 投影为不可见。水平投影上画出了母线圆的圆心轨迹及外形线,包 括母线圆上最外、最内点轨迹圆的投影。

第六章 曲线和曲面

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§6-4 曲线面
在环面上作点,一般用纬圆法。 例6-4 已知1/4环面上A、B两点的正面投影,求其余投影。 解:先根据已知投影的可见性, 判断点在环面上的部位,作纬圆 求出点的相应投影。 动画演示了另外一个例子。
动画

第六章 曲线和曲面

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第六章 曲线和曲面

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