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解析几何复习4

1.已知椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上,短轴长为 2

2 ,离心率为

2, 2

uuur uuuur P 是椭圆在第一象限弧上一点,且 PF1 ? PF2 ?1,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直

线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值;

解.(1)设椭圆方程为

y2 a2

?

x2 b2

? 1,由题意可得

a

?

2, b

?

2, c ? 2 2 ,方程为 y2 ? x2 ? 1 42

F1(0, 2), F2(0, ? 2) ,设 P(x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0)

uuur

uuuur

则 PF1 ? (?x0, 2 ? y0), PF2 ? (?x0, ? 2 ? y0),

uuur uuuur ?PF1 ? PF2 ? x02 ? (2 ? y02) ?1

Q



P(x0 ,

y0 ) 在曲线上,则

x02 2

?

y02 4

? 1.

? x02

?

4

? y02 2

从而

4 ? y02 2

? (2 ?

y02 )

? 1 ,得

y0

?

2 ,则点 P 的坐标为 (1,

2)

(2)由(1)知 PF1 // x 轴,直线 PA、PB 斜率互为相反数,设 PB 斜率为 k(k ? 0) ,

则 PB 的直线方程为: y ?

? y ? 2 ? k(x ?1)

2 ? k(x ?1)



? ?

x

2

?? 2

?

y2 4

?1



(2 ? k 2 )x2 ? 2k( 2 ? k)x ? ( 2 ? k)2 ? 4 ? 0



B(xB ,

yB ),



xB

?

2k(k ? 2 ? k2

2)

?1 ?

k2

?2 2?

2k k2

?2

同理可得

xA

?

k2

?2 2?

2k k2

?

2

,则

xA

?

xB

?

4 2k 2 ? k2

yA

?

yB

?

?k(xA

?1)

?

k ( xB

?1)

?

8k 2 ? k2

所以:AB

的斜率

k AB

?

yA xA

? yB ? xB

?

2 为定值

2.如图,S(1,1)是抛物线为 y2 ? 2 px( p ? 0) 上的一点,弦 SC,SD 分别交 x 小轴于 A,B 两

点,且 SA=SB。

(I)求证:直线 CD 的斜率为定值;

(Ⅱ)延长

DC



x

轴于点

E,若

uuur EC

?

1

uuur ED

,求

cos

?CSD

的值.

3

20. ( 1 ) 将 点 ( 1 , 1 ) 代 入 y2 ? 2 px , 得 2 p ? 1

? 抛物线方程为 y2 ? x

----- 1 分

设 直线SA的方程为y ?1 ? k(x ?1) , C(x1, y1) 与抛物线方程 y2 ? x 联立得: ky2 ? y ? 1 ? k ? 0

----- 2 分

?

y1

?1

?

1 k

?

y1

?

1 k

?1

(1 ? k)2 1

?C (

, ?1)

高.

k2 k

由题意有 SA ? SB ,?直线SB的斜率为? k

------ 3 分 考/ 资源网

?

D( (1

? k)2 k2

,?

1 k

? 1)

----- 4 分

? KCD

?

1 ?1? 1 ?1

kk

(1 ? k)2 k2

?

(1 ? k)2 k2

??1 2

-------5 分

(2)设 E(t,0) ? EC ? 1 ED 3

?

(

(1

? k

k
2

)

2

? t, 1 k

? 1)

?

1 3

(

(1 ? k k2

)

2

?

t,?

1 k

? 1)

1 ?1 ? 1 (? 1 ?1) k 3k ?k ? 2

-----6 分 ----- 7 分

?直线SA的方程为 y ? 2x ?1

------8 分

? A(1 ,0) 2
同理 B( 3 ,0) 2

------ 9 分 ------10 分

?cos?CSD ? cos?ASB ? SA2 ? SB2 ? AB2 ? 3

2SB ? SA

5

----- 12分

3. (本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

3 ,且短轴长为 2. 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)已知 A、B 分别为椭圆的左右顶点, M (1, m) , (m ? 0 ,且 m ? ? 3 ) ,直线 AM 与 2
BM 分别与椭圆交于 E、F 两点,

(i)用 m 表示点 E、F 的纵坐标;

y

(ii)若 ?AMF 面积是 ?BME面积的 5 倍,求 m 的值. F

ME

?b ? 1 ?

?a ? 2 A

O

解析:(Ⅰ)由题意知

??e ? ??a

?c? a
2 ? b2

3 2 ? c2

,解得

??b ??c

? ?

1

3



Bx

椭圆的标准方程为: x2 ? y2 ? 1 . 4

………………4 分

(Ⅱ)(i)





,且



直线 的斜率为

,直线 的斜率为



直线 的方程为

,直线 的方程为









点 E 的纵坐标











(ii)









yM ? 5 yM

yE ? yM

yF ? yM

即 9 ? 4m2 3 ? 4m2

? 5 1? 4m2 3 ? 4m2

,解得 m ? ? 1 2





三、非对称

1.设直线

l:

y

?

x ?1与椭圆

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a

?b

?

0) 相交于

A



B 两个不同的点,与

x轴

相交于点 F 。 uuuv uuuv
(1)若 F 是椭圆的一个焦点,且 AF ? 2FB ,求椭圆的方程。

2.已知椭圆 ? : x2 ? y2 ? 1,点 A 是椭圆 ? 内且在 x 轴上的一个动点,过点 A 的直线与 43
椭圆 ? 交于 B , C 两点( B 在第一象限),且 3 AB ? AC . (Ⅰ)若点 C 为椭圆 ? 的下顶点,求点 A 的坐标; (Ⅱ)当 ?OBC ( O 为坐标原点)的面积最大时,求点 A 的坐标.

3.已知圆O: 2 + 2 = 4,点(1,0), 为平面内一动点,以线段为直径的圆内切于圆,设动

点的轨迹为曲线. (Ⅰ)求曲线的方程; (Ⅱ), 是曲线上的动点,且直线经过定点(0, 1),问在轴上是否存在定点,使得
2
∠ = ∠,若存在,请求出定点,若不存在,请说明理由.




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