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自动控制理论第版邹伯敏课件第章 共66页_图文

普通高等教育“十一五”国家级规划教材
自动控制理论
第四章
根轨迹法
1

第一节 根轨迹法的基本概念 一、根轨迹的概念
反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解 出闭环系统的特征根,系统响应的变化规律就知道了。但 是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时,求根就更困难了。
2

1948年,伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根的 图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基础 上,当某些参数变化时,利用该图解法可以非常方便 的确定闭环极点。
定义:当系统开环传递函数中某一参数从0??时, 闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹,就称作系统根 轨迹。一般取开环根轨迹增益K0作为可变参数。
3

举例说明:已知系统的结构图,分析0 < K < ? ,闭环特 征根在s平面上的移动路径及其特征。

R(s)
+﹣

K

C(s)

s(0.5s+1)

解:系统的开环传递函数为

一定要写 成零极点
表达式

G ?s?? K ?2K? K 0
s(0.5s?1 ) s(s?2) s(s?2)

式中,K为系统的开环比例系数。 K0 = 2K 称为系统的开 环根轨迹增益。

系统的闭环传递函数为:

2K ?(s)?s2 ?2s?2K 4

系统的闭环特征方程为: s2 + 2s + 2K = 0

求得闭环特征根为:

G?s?? 2K

s(s ?2)

s1,2 ??1?

1?2K

闭环特征根s1,s2是K函数, 随着K的改变而变化。

(1) K= 0:s1 = 0,s2 = ?2,是根迹的起点(开环极点),用“?”表示。

(2) 0 < K< 0.5 :s1 ,s2 均是

j?
K??

负实数。 K? ?s1? ,s2 ?。

s1从坐标原点开始沿负实轴 向左移动; s2从(?2,j0) 点开始沿负实轴向右移动。

K= 0
?2

K=0.5 K= 0
?
?1 0

(3) K= 0.5: s1 = s2 = ?1,重根。

(4) K >0.5:s1,2??1?j 2K?1

K??

5

根据2阶系统根轨迹的特点,可以推得n阶系统,会有如下的 结论:

(1)n阶系统有n个根,根轨迹有n条分支 ;

(2)每条分支的起点 位于开环极点处;

(3)各分支的终点或为开环零点处或为无限点;

(4)重根点,称为分离点或汇合点。
根轨迹与系统性能

j?
K??

1. 稳定性

当K从0 ??时,图中的 根轨迹不会越过虚轴进入s

K= 0
?2

K=0.5 K= 0
?
?1 0

右半平面,因此二阶系统对

所有的K值都是稳定的。

K??

6

2.稳态性能

开环系统在坐标原点有

一个极点,系统属于1 型系统,

因而根规迹上的K0=2K 值就是 静态速度误差系数Kv。如果 给定系统对ess 有要求,则对

K= 0
?2

K0有要求,由根迹图可以确 定闭环极点位置的容许范围。

j?
K??
K=0.5 K= 0
?
?1 0
K??

7

3. 动态性能 由图可见,当0 < K< 0.5时,闭环极点均位于负实轴
上,系统为过阻尼系统,单位阶跃响应为非周期过程。

当 K = 0.5时,闭环两

个实极点重合,系统为临

界阻尼系统,单位阶跃响

应为非周期过程。

当K > 0.5时,闭环极

K= 0

点为一对共轭复数极点,

?2

系统为欠阻尼系统,单位

阶跃响应为阻尼振荡过程。

j?
K??
K=0.5 K= 0
?
?1 0
K??
8

二、根轨迹方程

研究下图所示反馈控制系统的一般结构。

R(s)

C(s)

+-

G(s)

H(s)

系统的闭环传递函数为
?(s)?C(s)? G(s) R(s) 1?G(s)H(s)
该系统的闭环特征方程为: D(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 或 G(s)H(s) = -1

若将系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式: 一定要写

m

?? G(s)H(s)

?K0

M(s) N(s)

?

K0
n

(s?zi)
i?1
(s? pj )

成零极点 表达式
9

j?1

式中K0为系统的根迹增益, zi 为系统的开环零点,pj为系统的开

环极点。上述方程又可写为: m

?i ?1 ?n

(s ? (s ?

zi ) pj)

?

?

1 K0

j ?1

由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点,所以当系统的结构 参数,如K0在某一范围内连续变化时,由上式制约的s在s平面上描
画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的根轨迹方程。

m

根轨迹的幅值方程:

? s ? zi
i?1
n
? s? pj

?

1 K0

10

j?1

根轨迹的幅角方程:

m

?i ?1 ?n

(s ? (s ?

zi ) pj)

?

?

1 K0

j ?1

“-”号,对应负反馈

m

n

? ? (s?zi)?? ? (s?pj)?(2 k? 1 )? (4?6 )

i? 1

j? 1

式中,k=0,±1,±2,…(全部整数)。 (4-6)通常称为180 ? 根轨迹。

根据这两个条件,可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一

点对应的K0值。幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件,因此, 绘制根轨迹时,只需要使用幅角条件;而当需要确定根轨迹上各点

的K0值时,才使用幅值条件。

11

第二节 绘制根轨迹的基本规则 ?根轨迹的起点和终点 ?根轨迹的对称性和分支数 ?实轴上的根轨迹段 ?根轨迹的渐近线 ?根轨迹在实轴上的分离点和会合点 ?根轨迹与虚轴的交点 ?根轨迹的出射角和入射角 ?闭环极点的和与积、开环极点闭环极点
的关系
12

规则1. 根轨迹的起点和终点
起点:n条根轨迹起始于开环传递函数的n个极点。
终点:m条根轨迹起始于开环零点。
说明:
n?m 开始于n个开环极点的n条根轨迹,有m
条根轨迹终止于开环零点,有n-m条根 轨迹终止于无穷远处。
n?m 终止于m个开环零点的m条根轨迹,有n
条根轨迹来自n个开环极点,还有m-n条 来自无穷远处。
13

规规则则23.实对轴称上性的和根分轨支迹数分布 实轴上的某一区域,若其右边
开环对实称数性零:、根极轨点迹个必数定之对和称为于奇实轴。 数,根则轨该迹区的域分必是支根数轨:迹。
n“阶奇系是统偶,不其是闭”环特征方程有n个根。当K0 从0??连
续变化时,n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的 条数或分支数等于其闭环特征根的个数,即系统的阶数。
14

规则4 根轨迹的渐近线

当开环传递函数中m < n 时,将有n ? m 条根轨迹分支
沿着与实轴夹角为?a ,交点为?a 的一组渐近线趋于无穷
远处,且有:

?a

?

(2k?1)?
n?m

(k = 0,1, … , n ?m ? 1)

n

m

? pj ? ? zi

?a ?

j ?1

i ?1
n?m

15

规则5 根轨迹分离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的
点,称为根轨迹的分离点(会合点)。

K0=0 p1

j?
j1

K0?? A

K0?? z1

?
0

p2 K0=0
16

分离点的性质:
1)分离点是系统闭环重根; 2)由于根轨迹是对称的,所以分离点或位于实轴上, 或以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可 为无穷零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
j?

?
0

4)在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹,该段无

分离点或分离点成对出现。

17

分离点上,根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的分离角, 用下式计算:
?d ??18?0/k k为分离点处根轨迹的分支数。
确定法分一离:点重位根置法的(方极法值:法)

dD (s) d

M(s)

法二:公d式s 法?d[s1?Kg

]?0 N(s)

设分离点的坐标为 d,则d 满足如下公式:

? ? m 1

n1

?

i?1 d?zi j?1 d?pj

牢记!

式中,z i 、p j 是系统的有限开环零点和开环极点。

18

规则6 根轨迹与虚轴交点
若根轨迹与虚轴相交(临界稳定状态),则交点上的坐标(包 括闭环极点和临界增益)可按下述两种方法求出:
方法一:在系统的闭环特征方程D(s) = 0中,令s = jω,D(jω) = 0的解即是交点坐标。
方法二:由劳斯稳定判据求出。
19

例4-2 设某负反馈系统的开环传递函数为 G(s)H(s)? K0 s(s?1)s(?5)

试绘制系统根轨迹。

解(1)起点: p1= 0、p2= ?1、p3= ?5。 终点:终于无穷远处

(2) 实轴上的根轨迹分布:在(0,?1)和(?5,? ?)的

实轴段上。

(3)分支数:系统的根轨迹有三条分支,

(4)渐近线:有三条n。 m

? ? 实轴上的交点

pj ? zi

?a

? j?1

i?1
n?m

?0?1?5??2 3?0

20

三条渐近线与正实轴上间的夹角:

?a?2 k 3 ? 1 ??? 3, ?, 5 3 ? ?k? 0 , 1 , 2 ?

(5)系统实轴上的根轨迹段(?1,0),位于两个开环极点之间,

该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点。设分离点的坐标为d,则

1 ? 1 ? 1 ?0 d?0 d?1 d?5

Gk(s)?s(s?1K)0(s?5)

j?

3d 2 + 12d + 5 = 0

d1 = ? 0.472 d2 = ? 3.53(不在根轨迹上,
舍去,也可代入幅值方程看Kg>0否?) 分 离点上根轨迹的分离角为±90°。

d1 = ? 0.472

?
0

?d ??18?0/k

如果方程的阶次高时,可用试探法确定分离点。

21

j?
(5)虚轴的交点

D (s)? 1? G (s)H (s)? 1? K 0 ?0 s(s? 1 )s(? 5 )

方法一: 令s=jω,则

s3 + 6s 2 + 5s + K0 = 0

60?

?

-2

0

(jω)3 + 6(jω)2 + 5 (jω) + K0 = 0

22

(jω)3 + 6(jω)2 + 5 (jω) + K0 = 0
? ω3 + 5ω = 0 ? 6ω2 + K0= 0

? ? 0,? 5 K0= 0(起点,舍去), K0= 30

方法二:

s3 + 6s 2 + 5s + K0= 0

劳斯表为 s3

1

5

s2

6

K0

s1 (30? K0)/6

s0

K0

当K0=30时,s1行全零,劳斯表第一列不变号,系统 存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出:

6s 2+ K0= 0

s??j 5

23

Gk(s)?s(s?1K)0(s?5)

j?

K0 ??

j 5 K0= 30

K0 ??

d = ? 0.472

?
0
?j2.24 K0= 30

K0 ??
24

法则7 根轨迹的出射角与入射角

根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角,称为出

射角(起始角),用 ?

p

表示;
x

根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴方向的夹角,称为入

射角(终止角),用 ? z x 表示。

求出这些角度可按如下关系

m

n

? ? ? px?1? 8 ?0? (px?zi)? ? (px?pj) “π 加零去余极”

i? 1

j? 1 ,j?x

?px?1 ???px

n

m

? ? ?zx?18 ??0? (zx?pj)? ? (zx?zi) “π加极去余零”

j?1

i?1,i?x

?zx?1 ???zx

25

法则8 闭环极点的和与积
绘制根轨迹,或利用根轨迹进行系统性能分析时,可利用该法则。
若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上,即n ? m ? 2,
则系统闭环极点之和等于其开环极点之和。
26

例4-3 设负反馈系统的开环传递函数为
G(s)H(s)?0 K.0 5(s02.5 ?ss??11) 试绘制出系统的根轨迹。

解:

一定要写 成零极点
表达式

G(s)H(s)?sK 20?(s2s??2)2

27

G(s)H(s)?sK 20?(s2s??2)2 1? 1 ? 1 d?2 d?1?j d?1?j

d = ? 0.59(舍去)

d

d = ? 3.41

j?

j1

?

-2

-1

0

结论:由两个极点和一个有限零点组成的开环系统,

只要有限零点没有位于两个实数极点之间,当K0从0 ??时, 闭环根轨迹的复数部分,是以有限零点为圆心,以有限零

点到分离点为半径的一个圆,或圆的一部分。

28

例4-4 设负反馈系统的开环传递函数为

G (s)H (s)? K (s? 1 .5 )s( ? 2 ? j)s( ? 2 ? j)

j?

s(s? 2 .5 )s( ? 0 .5 ? j1 .5 )s( ? 0 .5 ? j1 .5 )

试绘制出系统的根轨迹。

?2

解:

j1

?2

?1

-2

-1

?1
?
0

起始角与终止角

?3 ?3

m

n

? ? ?px?1? 8?0? (px?zi)? ? (px?pj)

i? 1

j? 1 ,j?x

= 180? + ?1 + ?2 + ?3 ? ?1 ? ?2 ? ?3

=180? + 56.5? + 19 ? + 59? ? 108.5? ? 37? ? 90? = 79? 29

n

m

?zx?18 ??0 ? ? (zx?pj)?? ? (zx?zi)

j?1

i?1,i?x

=180? ? 117? ? 90? + 153? + 63.5? + 119? + 121? =149.5?

j?

-2

-1

j1
?
0

30

例4-5 设负反馈系统的开环传递函数为

G(s)H(s)? K0

j?

s(s2?2s?2)

试绘制出系统的根轨迹。

? p2

解:三个开环极点

p1= 0、p2,3 = ?1 ± j 渐近线: 3条

?
0

?a?2 nk ?? m 1???3, ?, 53 ?

n

m

? ? pj ? zi

? ?j?1 a

i?1
n?m

?p1?p2?p3 3

??2 3

31

实轴上根轨迹:(??,0),即整个负实轴。

? 出射角: p 2? 1?? 8 ? (p 0 2 ? p 1 )? ? (p 2 ? p 3 )? ? 4 ? 5
根轨迹与虚轴交点:系统的闭环特征方程为

劳斯表

s3 + 2s2 + 2s + K0= 0

s3

1

2

s2

2

K0

s1 (4? K0)/2

s0

K0

Gk(s)?s(s2

K0 ?2s?2)

令s1系数为0,得

K0 = 4

代入辅助方程

2s2 + K0= 0

s??j 2 32

绘制出系统根轨迹如图所示。

Gk(s)?s(s2?K20s?2)

j?

K0 ?? j1.414 K0 = 4

-45°

K0 ??

?

?2 ?1

0

K0 ??

33

例4-6 设负反馈系统的开环传递函数为

G(s)H(s)?s(s?4)s(K 2g?4s?2)0

试绘制出系统的根轨迹。

j?

解:

渐近线: ?a = ?2

?a = ?45?, ?135? 分离点: d =?2
d =?2 ? j2.45

j1

-4 -2 -1 0

?

与虚轴交点:

Kg=260 s = ? j3.16
34

第三节 参量根轨迹的绘制
参量根轨迹:在实际中,有时需要研究除开环根轨迹增益以外 的其他可变参量(如时间常数、反馈系数、开环零极点等)对 系统性能的影响,就需要绘制以其他参量为可变量的根轨迹。 这种根轨迹称为广义根轨迹或参量根轨迹。 绘制参量根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。 只要在绘制参数根轨迹之前,引入等效单位反馈系统和等效传 递函数概念,则常规根轨迹的所有绘制法则,均适用于参数根 轨迹的绘制。
35

对闭环特征方程 1?G (s)H(s)?0 进行等效变换,将其写为如下形式: A P(s) ? ?1
Q(s)
其中,A 为除 K外*,系统任意的变化参数,而 P和(s) Q(s) 为两个与 A无关的首一多项式。
可得等效单位反馈系统,其等效开环传递函数为
G1(s)H1(s)?AQ P((ss))
画出的根轨迹,就是参数 A 变化时的参数根轨迹。
36

例4-9 已知某负反馈系统的开环传递函数为 0.25(s?a)
G(s)H(s)? s2(s?1) 试绘制参数a从零变化到正无穷时,闭环系统的根轨迹。
解: 系统的闭环特征方程为 s3 + s2 + 0.25s + 0.25a = 0
1?G 1(s)H 1(s)?1?s3?0 s.22 ?a 0 5 .2s5
于是,等效系统开环传递函数为 G 1(s)H1(s)?s3?0 s.22?a 0 5.2s5
把a视为根迹增益,可绘制出a 变化时系统的常规根轨迹37。

G 1(s)H 1(s)?s3?0 s.2 2 ? a 0 5 .2s5 ?s(s 0 ? .2 0 .a 5 5 )2

a??

渐近线:

j?

σa= ?1/3

?a= π/3,5π/3,π。

j0.5 a = 1

分离点:

a ??

d1= ?1/6 , d2= ?1/2。

?1

?0.5

0

?

根轨迹与虚轴的交点:

a =1 s = ?j/2

38

第五节 增加开环零极点对根轨迹的影响 根轨迹的形状与开环零极点的分布密切相关。
一、增加开环极点的影响
(1) 改变了根轨迹在实轴上的分布; (2) 改变渐近线的条数,方向角及与实轴
的交点; (3) 一般使根轨迹向右偏移,不利于系统
的稳定性和动态特性。
39

例如:

K

K

G 0 (s)? s (s? p )? G (s)? s (s? p )(s? p c)(p c? p )

j

j

p2

p1

-p

O

p3

p2

p1

-p c

-p

O

40

G(s) ? K s(s ? 2)
41

G(s)?

K

s(s?2)(s?4)

42

G(s)?

K

s(s?2)(s?1)

43

G(s) ? K s(s ?2)? s
44

二、增加开环零点的影响 增加开环零点可以使根轨迹左移,有利
于改善系统的稳定性和动态特性。 例如:
G 0(s)?s2(s K ?2) ? G (s)?s K 2((s s? ?1 2 ))
45

G0(s)

?

K s2(s ?

2)

46

G(s)

?

K(s s2(s

? 1) ? 2)

j 3 2 1

-3 -2 -1

01 -1 -2 -3

47

G(s)

?

K(s ?0.5) s2(s ?2)

j 3 2 1

-3

-2

-1 0.5 0

1

-1

-2

-3

48

G (s)? K ? G (s)?K (z?4)

s(s?2)

s(s?2)

j 2 1

-8 -7 -6

-5 -4 -3 -2

-1

01 -1 -2 -3

49

G (s)? K ? G (s)?K (z?3)

s(s?2)

s(s?2)

j 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-1

-2

50

G (s)? K ? G (s)?K(z?1)

s(s?2)

s(s?2)

-2

-1

j

0

1

-1

51

第六节 用根轨迹法分析控制系统
一、闭环极点的位置与系统性能的关系
(1)闭环极点在[ s ] 平面上的分布反映系统的稳定 性。闭环极点在[ s ] 左半平面上时系统稳定;
在右半平面时系统不稳定。
(2)闭环极点的实部 ? ? n 反映了系统的调节时间。 其值越大,表明距离虚轴远,调节时间就短, 系统的响应快。
(3)闭环极点与负实轴的夹角 ? 反映了系统的平 稳性。? 越大,阻尼比 ? 越小,超调量增加, 系统振荡增加。

二、根轨迹法来分析系统性能

52

例1 某单位反馈系统的开环传递函数为:
G(s)?Kg(s?1?j2)(s?1?j2) (s?2)(s?0.5)
要求:(1)绘制系统的根轨迹草图;
(2)用根轨迹法确定使系统稳定的K g 值范围;
(3)用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调的
K g 最大取值。
解 : (1)闭环系统特征方程为
D ( s )? ( 1 ? K g ) s 2 ? ( 1 .5 ? 2 K g ) s ? ( 5 K g ? 1 )
53

分离点

1? 1 ? 1 ? 1 d?2 d?0.5 d?1?j2 d?1?j2

整理得 解出

7d2?24d?11?0

d

?

??0.4094 ??3.838(舍去)

与虚轴交点 ?Im [D (j?)]?(1.5?2K g)??0 令 ? ?R e[D (j?)]?? (1?K g)?2?5K g?1?0

解出

???0
??Kg?0.2

???? 11/7?0.254
???Kg?3/4?0.75

54

系统根轨迹如下图
55

(2)由(1)中的计算结果可知,K g 稳定范围为
0.2?Kg ?0.75
(3)依题意,也就是要求分离点d??0.4094处的K g 值:
用模值条件解得
K g|d?|d? |d 1 ? ? 2 j2 |?|?||d d ? ? 0 1 .5 ? |j2|? 0 .2 4 1 5 7
56

例2:单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)? K(2s?1) s2(0.25s?1)2
画出 K 从 0 ?? 变化时闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统 稳定时的 K 值取值范围。
解:开环传函变为如下形式
G(s) ?32K(s?0.5) s2(s?4)2
57

渐进线

????a

?

2?(?4) ? 0.5 4?1

? ?2.5

?
????a

?

(2k ?1)?
4?1

? ?600,

?1800

与虚轴交点 D (s )? s4? 8 s3? 1 6 s2? 3 2 K s? 1 6 K
令 Re[D(j?)]??4?16?2?16K?0

Im[D(j?)]??8?3?32K??0

解出 K?3 ???23
由根轨迹及计算结果可以确定 K 的稳定范围是
0?K?3 58

系统根轨迹如下图
59

例2:已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)? K(0.5s?1)2 (0.5s?1)(2s?1)

要求:(1)当 K 从 0 ?? 时,概略绘制系统的闭环根轨迹;

(2)确定保证系统稳定的 值范围;
(3)求出系统在单位阶跃K输入作用下稳态误差可能达

到的最小绝对值



解:开环传函变为

| ess
1 K(s ? 2)2

|min

G(s) ? 4

(s ? 2)(s ? 0.5)

60

分离点

1? 1 ?1 d?2 d?0.5 d?2

整理并解出 d??0.182
与虚轴交点 D ( s )? ( 1 ? K /4 ) s 2 ? ( 1 .5 ? K ) s ? ( K ? 1 )
令?Im [D (j?)]?(1.5?K )??0 ? ?R e[D (j?)]?? (1?K /4)?2?(K?1 )?0

联立求解得

??? ? ?12

?0 ??0.603

K1 ?1 K2 ?1.5

61

画出的根轨迹如下图
62

(2)由根轨迹图可以看出,K 值稳定范围对应于根轨迹与虚
轴的两个交点,所以有
1?K?1.5
(3)系统的静态位置误差系数为
Kp?lsi? m 0G(s)??K
由静态误差系数法,可求得系统在稳定范围内有

|ess|m in?1?K 1pm ax?1?K 1m ax

? 1 ?2 1?1.5

63

例:一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s) ? 3
s(s ?a)
求:(1).绘制系统当a从0到∞变化时的根轨迹; (要求有主要过程,并将必要的数值标在图上) (2).求系统单位阶跃响应无超调时a的取值范围。

解:(1). 系统的闭环特征方程 s(s+a)+3=0

根轨迹方程

as ?1?0 s2 ?3

as s2 ?

3

?

?1

得会合点 d=-1.73 出射角 α =180°-90°+90°=180° 绘出根轨迹如图。

64

(2).系统无超调,闭环极点应在负实轴上。 会合点的增益为

j?
j2

s2 ?3

a?

?

6

?2

3

s

3

j1

=3.46

d

?

-2

-1

0

a的取值范围为 3.46≤a<∞

-j1

-j2

结论:由两个极点和一个有限零点组成的开环系统,

只要有限零点没有位于两个实数极点之间,当K从0 ??时,

闭环根轨迹的复数部分,是以有限零点为圆心,以有限零

点到分离点为半径的一个圆,或圆的一部分。

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